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[考研数学] 求助:一高中不等式证明

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发表于 2012-8-20 10:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
5金币
虽然是基本不等式,今天给人问到,自己却证不出,好惭愧。只好求助论坛高人。
求可靠证明思路:三个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
设a,b,c都是正实数,则(a^3+b^3+c^3)/3 >= abc

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写错了 左边是你的等式 囧 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(1/2)(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>0
发表于 2012-8-20 10:13 | 显示全部楼层
REF 发表于 2012-8-20 21:37
先假定你推导都正确。
只看头和尾,(a+b+c)^3-3abc >= 0,只是说(a+b+c)^3 >= 3abc 啊,不是我求证的
a ...


写错了  左边是你的等式 囧
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(1/2)(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>0
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发表于 2012-8-20 11:53 | 显示全部楼层
用(a+b+c)^3-3abc就很明白了!

点评

REF
我终于明白你的意思了,但给你的式子表达不是你心中所想。同样送你5金币。  发表于 2012-8-20 22:39

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 楼主| 发表于 2012-8-20 21:04 | 显示全部楼层
darwon 发表于 2012-8-19 23:53
用(a+b+c)^3-3abc就很明白了!

谢谢!不过,(a+b+c)^3-3abc确实不小于0,但(a+b+c)^3和(a^3+b^3+c^3)相比,多了一些交叉项啊。
求继续说透你的思路。
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发表于 2012-8-20 21:29 | 显示全部楼层
(a+b+c)^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(1/2)(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>0

不用谢  给分吧
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发表于 2012-8-20 21:31 | 显示全部楼层
我再解释一下 ,最后一个式子所有项都是大于0的,所以结果肯定大于0.那位什么会等于0呢
当a=b=c的时候
所以是大于等于0.。刚才少写个等号
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 楼主| 发表于 2012-8-20 21:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 REF 于 2012-8-20 09:42 编辑
jiushou1234 发表于 2012-8-20 09:29
(a+b+c)^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+ ...

先假定你推导都正确。
只看头和尾,(a+b+c)^3-3abc >= 0,只是说(a+b+c)^3 >= 3abc 啊,不是我求证的
a^3+b^3+c^3 >= 3abc
(你放心,要是后来发现等价的话,金币不会少的)
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发表于 2012-8-20 21:51 | 显示全部楼层
REF 发表于 2012-8-20 21:37
先假定你推导都正确。
只看头和尾,(a+b+c)^3-3abc >= 0,只是说(a+b+c)^3 >= 3abc 啊,不是我求证的
a ...

不信你就把我第一个等号的右边的式子打开算一下  一摸一样的
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 楼主| 发表于 2012-8-20 22:36 | 显示全部楼层
jiushou1234,给金币了,请查收。
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发表于 2012-8-29 13:59 | 显示全部楼层
用(a+b+c)^3展开
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