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楼主: REF

[考研数学] 求助:一高中不等式证明

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 楼主| 发表于 2012-8-29 22:29 | 显示全部楼层
五福团子 发表于 2012-8-29 01:59
用(a+b+c)^3展开

谢谢。好的创意,不过,你的思路是错的。
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发表于 2012-9-11 01:01 | 显示全部楼层
我看着看着困了。。。。
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 楼主| 发表于 2012-9-11 05:28 | 显示全部楼层
songsu 发表于 2012-9-10 13:01
我看着看着困了。。。。

把学数学的部分精力用来学英语,也是好的。
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发表于 2012-9-20 23:04 | 显示全部楼层
如果用朗格朗日定理证明更加简单。
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 楼主| 发表于 2012-9-21 00:13 | 显示全部楼层
陈英 发表于 2012-9-20 11:04
如果用朗格朗日定理证明更加简单。

是吗?能否演示一下你的证明过程?
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发表于 2012-9-21 22:32 | 显示全部楼层
REF 发表于 2012-9-21 00:13
是吗?能否演示一下你的证明过程?

证明:分别令函数f(x)=x, g(x)= ln(x),且在定义域(0,+∞)内有f(x)>g(x).
             由于a,b,c均为正实数,即a,b,c均大于0.因此有f(a^3)>g(a^3),               
             f(b^3)> g(b^3), f(c^3)>g(c^3).
             则有:f(a^3)+ f(b^3)+ f(c^3)≥ g(a^3)+ g(b^3)+g(c^3).
             即:a^3+b^3+c^3≥ ln(a^3)+ ln(b^3)+ ln(c^3).
            由此证得:((a^3+b^3+c^3))/3≥abc.
  

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REF + 1 鼓励交流!虽然证明不完成。

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 楼主| 发表于 2012-9-21 22:57 | 显示全部楼层
谢谢你的思路。
不过,你只证明了((a^3+b^3+c^3))/3≥ln(abc),把取对数去掉才是((a^3+b^3+c^3))/3≥abc。
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发表于 2012-9-22 23:38 | 显示全部楼层
当然,如果你知道n维均值不等式:√(n&〖x_1 x_2…x〗_n )≤(x_1+x_2+⋯〖+x〗_n)/n时,则∛(〖a^3 b^3 c〗^3 )≤〖a^3+b^3+c〗^3/3
因此很简单证得:〖a^3+b^3+c〗^3/3≥abc.明细见附件word

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 楼主| 发表于 2012-9-23 06:40 | 显示全部楼层
陈英 发表于 2012-9-22 11:38
当然,如果你知道n维均值不等式:√(n&〖x_1 x_2…x〗_n )≤(x_1+x_2+⋯〖+x〗_n)/n时,则∛(〖a ...

谢谢!
可是,你说的“n维均值不等式”怎么证明?估计证明难度不会低于那个高中生可以接受的证明。当然,有了n维均值不等式,三维的就成了个特例。
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发表于 2012-9-23 21:41 | 显示全部楼层
很好证明的。二维的你知道吧。推广一下就知道了。
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